精選360講一網打盡——No.121 解題技巧29

分析:本題考核的是間斷點及其類型的判定.  由於初等函數在定義區間上都是連續的,因此對於求函數間斷點的題目,我們只需要從兩個角度考慮:一是函數沒有定義的點;二是分段函數的分段點. 是否是間斷點以及哪種間斷點,僅需計算函數在該點的極限以及該點的取值:當左、右極限都存在且相等並且等於函數在該點的取值時,函數在該點連續;當左、極限都存在且相等,但不等於函數在該點的取值時,該點屬於第I類間斷點中的可去間斷點;左、極限都存在但不相等時,該點屬於第I類間斷點中的跳躍間斷點;當左、極限至少有一個不存在時,該點屬於第II類間斷點,特別地,左、極限不存在是以無窮的形式體現時,叫做無窮間斷點. 本題的具體技巧和詳細解答過程如下:

注意1:函數定義域的求解方法請點擊:精選360講一網打盡——No.1 函數定義域;間斷點的類型與判斷請點擊:精選360講一網打盡——No.17 連續與間斷.

注意2:關於函數、極限和連續,專升本數學考試要求包括:

()函數

1. 理解函數的概念,會求函數的定義域、表達式及函數值,會作出一些簡單的分段函數圖像。

2.掌握函數的單調性、奇偶性、有界性和週期性。

3.理解函數y =ƒ(x)與其反函數-1(x)之間的關係(定義域、值域、圖像),會求單調函數的反函數。

4.掌握函數的四則運算與複合運算掌握複合函數的複合過程。

5.掌握基本初等函數的性質及其圖像。

6.理解初等函數的概念。

7.會建立一些簡單實際問題的函數關係式。

(二)極限

1.理解極限的概念(只要求極限的描述性定義),能根據極限概念描述函數的變化趨勢。理解函數在一點處極限存在的充分必要條件,會求函數在一點處的左極限與右極限。

2.理解極限的唯一性、有界性和保號性,掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念,掌握無窮小量的性質,無窮小量與無窮大量的關係。會比較無窮小量的階(高階、低階、同階和等價)。會運用等價無窮小量替換求極限。

4.理解極限存在的兩個收斂準則(夾逼準則與單調有界準則),掌握兩個重要極限,並能用這兩個重要極限求函數的極限。

(三)連續

1.理解函數在一點處連續的概念,函數在一點處連續與函數在該點處極限存在的關係。會判斷分段函數在分段點的連續性。

2.理解函數在一點處間斷的概念,會求函數的間斷點,並會判斷間斷點的類型。

3.理解一切初等函數在其定義區間上都是連續的,並會利用初等函數的連續性求函數的極限。

4.掌握閉區間上連續函數的性質:最值定理(有界性定理),介值定理(零點存在定理)。會運用介值定理推證一些簡單命題。

END


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