《通信原理》學習筆記No.25:平穩隨機過程通過線性時不變系統的一些總結與推導證明

通信,簡言之就是信息的傳輸。

那麼,隨機過程是信號,代表的是包含信息的一系列信號。要實現信息的傳輸,則必須有相應的通信系統,才能實現將信息從信源端傳輸至信宿端。

因為在通信系統中,所遇到的信號和噪聲,大多數可以視為平穩的隨機過程。因此,研究平穩隨機過程通過線性系統,則對通信問題的深入研究,能夠提供很好的理論基礎。


一、線性時不變系統回顧

線性時不變系統,即LTI系統。

在時域中,可以用單位衝激響應h(t)表徵;在頻域中,則可以用頻率響應H(f)表徵。

如下圖所示:vi表示輸入信號,vo表示輸出信號

時域中:


頻域中:


 

那麼根據LTI系統性質,可以得到在時域中輸入與輸出的關係式,如下:

(式1

或者:

(式2

 

根據時域的卷積,在頻域則為乘積的性質,對上式兩邊取傅里葉變換,變到頻域中,可得到在頻域中的關係式,如下:

(式3


二、平穩隨機過程通過線性系統


因為隨機過程是一系列樣本函數的集合,那麼我們將隨機過程中的任何一個樣本通過上述的線性時不變系統(因為任意一個樣本是一個確知的信號),則可以得到一個對應的輸出樣本。那麼這些輸出樣本的集合,就構成了輸出隨機過程。

類比上述的確知信號通過LTI系統,則可以得到隨機過程通過LTI系統後的輸出情況。如下圖所示:

 


用官方語言描述,則為:對於每一個輸入的隨機過程的樣本ξi (t),都有一個對應的輸出過程樣本,所有輸出樣本的集合構成了輸出隨機過程,滿足:

4

4)中,ξi (t)是平穩的輸入隨機過程,其均值為a,自相關函數為Ri(τ),功率譜密度為Pi(ω)

輸入隨機過程ξi (t)的數字特徵,這些都可以認為是已知的。

那麼我們想要知道的是經過LTI系統後,會得到什麼樣的信號?或者說平穩隨機過程通過LTI系統後,輸出的會是什麼樣的信號?輸出的信號具有哪些特徵?

這就轉變成研究輸出隨機過程的一些數字特徵的問題。


下面一一分析輸出隨機過程的一些數字特徵與推導證明方法。

 

三、輸出隨機過程ξo (t)的數字特徵
 (1)輸出隨機過程ξo (t)的均值

4)帶入到均值的計算公式中,得到如下式子:

均值是屬於統計平均,即對統計量進求期望,也就是均值是對隨機的部分求期望,而確知的部分是不需要求期望的,所以上式中h(τ)是系統的衝激響應,是確知的,因此該項可以提到外面,故得到下面式子:


又因為,輸入過程是平穩的,那麼輸入隨機變量ξi (t)的均值是與時間無關的,是一個常數,所以有E[ξi (t-τ)]=E[ξi (t)]=a.有了這個結論,那麼均值的式子可以進一步化成如下:

因為,對於線性時不變系統,其頻率響應H(f)的表達式為:

若令上式中頻率f=0,即頻率為零的直流情況下,則有:

回到均值的計算5)中,將上式H(0)代入到5)中,則可以得到輸出隨機過程ξo (t)的均值表達式,即:

上面的6)就是輸出隨機過程的均值。

通過6)可以得知輸出隨機過程的均值是一個常數。


(2)輸出隨機過程ξo (t)的自相關函數

先把相關的式子擺出來,


自相關函數的計算式子:

輸出隨機過程的表達式


下面計算輸出隨機過程的自相關函數。

根據自相關函數的計算式子,可以得出輸出隨機過程的自相關函數表達式應該為:

上式子中,t1表示的是隨機過程的觀測時刻為t1τ表示時間間隔。

展開得:


又因為輸入過程是平穩的,那麼輸入隨機變量ξi (t)的自相關函數僅與時間間隔τ有關,即:


這部分恰好是(7的積分內的一部分,因此(7可以寫成: 


在上式中,對αβ積分後,則只留下τ,所以積分完成之後,自相關函數Ro也僅與時間間隔τ有關。

將輸出過程的自相關函數記作Ro(τ),那麼有


結論1:輸出隨機過程的自相關函數也僅與時間間隔τ有關。

結合均值與自相關函數,可以得到結論2:當輸入為平穩隨機過程時,輸出也是平穩的。


(3)輸出隨機過程ξo (t)的功率譜密度

單獨求輸出的功率譜密度是比較複雜的,但是我們可以根據維納辛欽定理進行推算。

維納辛欽定理的內容為:功率信號的自相關函數R(τ)與其功率譜密度P(f)之間是傅里葉變換的關係。用式子表達如下:


根據ω=2πf,上式子還可以寫成以ω為變量的函數,根據變量變換可得如下:

 

現在回到求輸出過程的功率譜密度,根據維納辛欽定理可知,功率譜密度與自相關函數是一對傅里葉變換,

那麼對自相關函數進行傅里葉變換,可得到功率譜密度,如下:

8)中Ro(τ)的表達式帶入上9),可得:

對上式進行變量代換,令τ=τ+α-β, 則τ-α+β=τ那麼上式繼續可以改寫為如下:

 

根據e指數的性質:


那麼上面的Po(f)式子可以繼續變形為:

又因為τ、αβ相互獨立,則可以將三重積分變成如下形式:

 

因為線性時不變系統的頻率響應為:

(式11)

將線性時不變系統的頻率響應表達式(式11)與(式10)中三個積分式的前兩項逐一對比,易得到:

這一項是輸入隨機過程的自相關函數求傅里葉變換,由維納辛欽定理可知,自相關函數的傅里葉變換是功率譜密度,故

那麼10)就可以化成如下:

就可以得到這樣一個結論:輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統頻率響應模值的平方。

 

平穩隨機過程通過線性時不變系統後,得到的輸出也是平穩隨機過程,本文給出了輸出端的均值、自相關函數、功率譜密度的推導過程。


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